Backcast transformation

Voir notamment https://robjhyndman.com/hyndsight/backtransforming/.

Cette page vient en complément du cours 2 - Analyse graphique.

1 Convergence vers la médiane

Soit \(f_\lambda\) la transformation de Box-Cox \[ f_\lambda(x)=\begin{cases} \log(x)&\text{ si }\lambda=0\\ \frac{sign(x)|x|^\lambda -1}{ \lambda }&\text{ si }\lambda\ne0 \end{cases} \] et \(g_\lambda\) la transformation inverse \[ \quad g_\lambda(x)=f^{-1}_\lambda(x) = \begin{cases} \exp(x) & \text{ si }\lambda=0\\ \text{sign}(\lambda x + 1)|\lambda x+1|^{1/\lambda} & \text{ si }\lambda\ne0 \end{cases}. \]

Généralement la transformation inverse de la valeur prédite ne pourra pas être considérée comme la valeur moyenne de la distribution des prévisions mais plutôt comme la médiane. Il n’y a en général pas de problème à cela mais dans certains cas (comme les prévisions hiérarchiques où l’on fait des agrégations de prévisions) il est nécessaire de faire une correction puisque l’on s’intéresse à la moyenne de la distribution des prévisions (voir section Section 2).

Cette convergence vers la médiane est vraie lorsque la distribution est symétrique puisque dans ce cas : \[ Moyenne[f_\lambda(X)]=Mediane[f_\lambda(X)]=f_\lambda(Mediane[X]). \] Il vient donc \[ g_\lambda\big(Moyenne[f_\lambda(X)]\big) = Mediane\big[g_\lambda(f_\lambda(X))\big]= Mediane[X]. \]

2 Correction du bais avec la transformation Box-Cox

Soit \(\mu\) la moyenne de la série transformée et \(\sigma^{2}\) sa variance. Les trois premiers termes du développement de Taylor en série entière s’écrivent : \[ g_\lambda(\mu+x)\simeq g_\lambda(\mu)+g_\lambda'(\mu)x+g_\lambda''(\mu)\frac{{x^{2}}}{2}. \]

Il vient donc : \[\begin{align*} \mathbb{E}\left[g_\lambda(X)\right] & =\mathbb{E}\left[g_\lambda(\mu+X-\mu)\right]\\ & \simeq\mathbb{E}\left[g_\lambda(\mu)+g_\lambda'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}g_\lambda''(\mu)\left(X-\mu\right)^{2}\right]\\ & =g_\lambda(\mu)+g_\lambda'(\mu)\underbrace{\mathbb{E}\left[X-\mu\right]}_{=0}+\frac{1}{2}g_\lambda''(\mu)\underbrace{\mathbb{E}\left[\left(X-\mu\right)^{2}\right]}_{=\sigma^{2}}\\ & =g_\lambda(\mu)+g_\lambda''(\mu)\frac{\sigma^{2}}{2}. \end{align*}\]

De la même façon on peut montrer que \[ \mathbb{V}\left[g_\lambda(X)\right]\simeq\left(g_\lambda'(\mathbb{E}\left[X\right])\right)^{2}\mathbb{V}\left[X\right]=\left(g_\lambda'(\mu)\right)^{2}\sigma^{2}-\frac{1}{4}\left(g_\lambda''(\mu)\right)^{2}\sigma^{4}. \]

Dans le cas de la transformation de Box-Cox \[ g_\lambda(x)=\begin{cases} \exp(x) & \text{ si }\lambda=0\\ \text{sign}(\lambda x+1)|\lambda x+1|^{1/\lambda} & \text{ si }\lambda\ne0 \end{cases}, \] donc \[ g_\lambda'(x)=\begin{cases} \exp(x) & \text{ si }\lambda=0\\ \text{sign}(\lambda x+1)|\lambda x+1|^{1/\lambda-1} & \text{ si }\lambda\ne0 \end{cases} \] et \[ g_\lambda''(x)=\begin{cases} \exp(x) & \text{ si }\lambda=0\\ \text{sign}(\lambda x+1)(1-\lambda)|\lambda x+1|^{1/\lambda-2} & \text{ si }\lambda\ne0 \end{cases}. \]

La moyenne de la transformation inverse de Box-Cox est donc \[ \begin{cases} \exp(\mu)\left(1+\frac{\sigma^{2}}{2}\right) & \text{ si }\lambda=0\\ \text{sign}(\lambda\mu+1)|\lambda\mu+1|^{1/\lambda}\left(1+\frac{\sigma^{2}(1-\lambda)}{2|\lambda\mu+1|^{2}}\right) & \text{ si }\lambda\ne0 \end{cases}. \]

C’est-à-dire : \[ \begin{cases} g_\lambda(\mu)\left(1+\frac{\sigma^{2}}{2}\right) & \text{ si }\lambda=0\\ g_\lambda(\mu)\left(1+\frac{\sigma^{2}(1-\lambda)}{2 g_\lambda(\mu)^{2\lambda}}\right) & \text{ si }\lambda\ne0 \end{cases}. \]