Chapitre 4 Filtres dépendant des données : trilemme ATS

Wildi et McElroy (2019) proposent une approche dépendante des données (data-dependent) pour calculer des filtres linéaires. Ils décomposent l’erreur quadratique moyenne de révision en un trilemme de trois quantités appelées accuracy (précision), timeliness (temporalité) et smoothness (lissage), d’où son nom ATS-trilemna.

Soient :

  • \(\left\{ y_{t}\right\}\) notre série temporelle en entrée12.

  • \(\left\{TC_{t}\right\}\) le signal cible, i.e. la série lissée avec un filtre symétrique fini ou non, et soient respectivement \(\Gamma_s\), \(\rho_s\) et \(\varphi_s\) les fonctions de transfert, de gain et de déphasage associées à ce filtre symétrique.

  • \(\left\{\widehat{TC}_{t}\right\}\) une estimation de \(\left\{TC_{t}\right\}\), i.e. le résultat d’un filtre asymétrique (lorsque toutes les observations ne sont pas disponibles), et soient respectivement \(\Gamma_\theta\), \(\rho_\theta\) et \(\varphi_\theta\) les fonctions de transfert, de gain et de déphasage associées à ce filtre asymétrique.

Une approche directe13, Direct Filter Approach (DFA), consiste à approcher directement le signal cible par minimisation de l’erreur quadratique moyenne : \[ \underset{\widehat{TC}_{t}}{\min} \E{(TC_{t}-\widehat{TC}_{t})^{2}}. \] Cette approche peut être approfondie en décomposant l’erreur de quadratique moyenne en plusieurs éléments d’intérêt.

Si l’on suppose que la série \(\left\{ y_{t}\right\}\) est faiblement stationnaire avec une densité spectrale continue \(h\), l’erreur quadratique moyenne de révision, \(\E{(TC_{t}-\widehat{TC}_{t})^{2}}\), peut s’écrire dans le domaine spectral comme: \[\begin{equation} \E{(TC_{t}-\widehat{TC}_{t})^{2}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|\Gamma_s(\omega)-{\Gamma_\theta}(\omega)\right|^{2}h(\omega)\ud\omega=\frac{1}{2\pi}\times2\times\int_{0}^{\pi}\left|\Gamma_s(\omega)-{\Gamma_\theta}(\omega)\right|^{2}h(\omega)\ud\omega \tag{4.1} \end{equation}\] Cette égalité peut également se généraliser aux processus intégrés non-stationnaires (par exemple en imposant une cointégration entre les deux signaux et en utilisant le pseudo-spectre, voir Wildi et McElroy (2013)).

On a : \[\begin{align} \left|\Gamma_s(\omega)-\Gamma_\theta(\omega)\right|^{2} & =\rho_s(\omega)^{2}+\rho_\theta(\omega)^{2}+2\rho_s(\omega)\rho_\theta(\omega)\left(1-\cos(\varphi_s(\omega)-\varphi_\theta(\omega)\right) \nonumber\\ & =\left(\rho_s(\omega)-\rho_\theta(\omega)\right)^{2}+4\rho_s(\omega)\rho_\theta(\omega)\sin^{2}\left(\frac{\varphi_s(\omega)-\varphi_\theta(\omega)}{2}\right) \tag{4.2} \end{align}\]

L’intervalle \([0,\pi]\) peut être coupé en deux : une partie dite pass-band \([0,\omega_1]\) (l’intervalle de fréquences qui contient le signal cible) et une partie dite stop-band \([\omega_1,\pi]\) (l’intervalle de fréquences associé aux résidus).

L’erreur de l’équation (4.1) peut être décomposée en 4 quantités : \[\begin{align*} Accuracy =A_w(\theta)&= 2\int_0^{\omega_1}\left(\rho_s(\omega)-\rho_\theta(\omega)\right)^{2}h(\omega)\ud\omega\\ Timeliness =T_w(\theta)&= 8\int_0^{\omega_1}\rho_s(\omega)\rho_\theta(\omega)\sin^{2}\left(\frac{\varphi_\theta(\omega)}{2}\right)h(\omega)\ud\omega\\ Smoothness =S_w(\theta)&= 2\int_{\omega_1}^\pi\left(\rho_s(\omega)-\rho_\theta(\omega)\right)^{2}h(\omega)\ud\omega\\ Residual =R_w(\theta)&= 8\int_{\omega_1}^\pi\rho_s(\omega)\rho_\theta(\omega)\sin^{2}\left(\frac{\varphi_\theta(\omega)}{2}\right)h(\omega)\ud\omega\\ \end{align*}\]

Afin d’avoir des définitions cohérentes entre les différentes sections, les formules des quatre critères ont été légèrement modifiées par rapport à ceux définis par Wildi et McElroy (2019) :

  • dans cette étude, l’intervalle d’intégration est \([0,\pi]\) plutôt que \([-\pi,\pi]\) (toutes les fonctions étant paires cela revient à multiplier par 2 toutes les intégrales) ;

  • dans l’article originel, l’intervalle pass-band dépend de la fonction de gain du filtre symétrique (pass-band\(=\{\omega |\rho_s(\omega)\geq 0,5\}\)) : cela correspond donc à l’intervalle contenant les fréquences conservées sans trop de distorsion par le filtre symétrique. Dans le cas du filtre symétrique d’Henderson de 13 termes, cela correspond à l’intervalle \([0, 2\pi/8]\), c’est-à-dire aux cycles de plus de 8 mois.

En général, le résidu \(R_w\) est petit puisque \(\rho_s(\omega)\rho_\theta(\omega)\) est proche de 0 dans l’intervalle stop-band14. Il est de plus rare que les utilisateurs s’intéressent aux propriétés de déphasage dans les fréquences stop-band. C’est pourquoi, pour la construction de filtres linéaires les auteurs suggèrent de faire une minimisation d’une somme pondérée des trois premiers critères : \[ \mathcal{M}(\vartheta_{1},\vartheta_{2})=\vartheta_{1}T_w(\theta)+\vartheta_{2}S_w(\theta)+(1-\vartheta_{1}-\vartheta_{2})A_w(\theta). \] Comme le montrent McElroy et Wildi (2020), cette méthode peut également être étendue au cas multivarié, ce qui permet de prendre en compte les corrélations entre les composantes de différentes séries.

Un des inconvénients de cette méthode est qu’il n’y a pas de garantie d’unicité de la solution. En revanche, son avantage par rapport à la méthode FST (section 3.2) est que la décomposition de l’erreur quadratique moyenne permet de normaliser les différents indicateurs, et les coefficients \(\vartheta_{1}\), \(\vartheta_{2}\) et \(1-\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\) peuvent être comparés entre eux.

Les quatre critères \(A_w\), \(T_w\), \(S_w\) et \(R_w\) étant des cas particuliers du critère \(J\) défini dans l’équation (3.1), cette méthode s’inscrit dans le cadre de la théorie générale définie dans la section 3.1. En effet, en notant : \[ \begin{cases} f_1\colon&(\rho,\varphi, \omega)\mapsto2\left(\rho_s(\omega)-\rho\right)^{2}h(\omega) \\ f_2\colon&(\rho,\varphi, \omega)\mapsto8\rho_s(\omega)\rho\sin^{2}\left(\frac{\varphi}{2}\right)h(\omega) \end{cases} \] on a : \[\begin{align*} A_w(\theta)&= J(\theta,f_1,0,\omega_1)\\ T_w(\theta)&= J(\theta,f_2,0,\omega_1)\\ S_w(\theta)&= J(\theta,f_1,\omega_1,\pi)\\ R_w(\theta)&= J(\theta,f_2,\omega_1,\pi). \end{align*}\]

Cette méthode étant totalement dépendante des données, son intégration dans des algorithmes non-paramétriques tels que X-11 serait compliquée. C’est pourquoi elle n’est pour l’instant pas comparée aux autres. Pour avoir des critères qui ne dépendent pas des données, une idée serait de fixer la densité spectrale, par exemple à celle d’un bruit blanc (\(h_{WN}(x)=1\)) ou d’une marche aléatoire (\(h_{RW}(x)=\frac{1}{2(1-\cos(x))}\)). C’est ce qui est implémenté dans la fonction rjdfilters::dfa_filter().

ATS-trilemna - Wildi et McElroy (2019)

Avantages :

  • Les valeurs des différents critères peuvent être comparées et les poids associés peuvent être interprétés.

  • Méthode généralisable aux cas multivariés.

Inconvénients :

  • Les filtres dépendent des données, de la date d’estimation et du filtre symétrique utilisé.

  • Il peut y avoir des problèmes d’optimisation (plusieurs minimums, etc.).

: package MDFA https://github.com/wiaidp/MDFA ou rjdfilters::dfa_filter() (version simplifiée).

Références

McElroy, Tucker, et Marc Wildi. 2020. « The Multivariate Linear Prediction Problem: Model-Based and Direct Filtering Solutions ». Econometrics and Statistics 14 (C): 112‑30. https://doi.org/10.1016/j.ecosta.2019.12.
Wildi, Marc, et Tucker McElroy. 2013. « Optimal Real-Time Filters for Linear Prediction Problems ». Journal of Time Series Econometrics 8 (décembre). https://doi.org/10.1515/jtse-2014-0019.
———. 2019. « The trilemma between accuracy, timeliness and smoothness in real-time signal extraction ». International Journal of Forecasting 35 (3): 1072‑84. https://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:intfor:v:35:y:2019:i:3:p:1072-1084.

  1. Par rapport à l’article originel, les notations ont été modifiées afin de garder une cohérence entre les différentes sections.↩︎

  2. Par opposition aux approches indirectes par exemple utilisées dans X-13-ARIMA où le signal cible est approché en faisant une prévision sur la série initiale.↩︎

  3. En pratique ce n’est pas toujours le cas comme montré dans la section 5.1.4.↩︎